陈斌彬的技术博客

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哈夫曼树与哈夫曼编码

在一般的数据结构的书中,树的那章后面,著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)

树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛,如

JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树,

是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度,就是树中所有的叶结点

的权值乘上其到根结点的 路径长度(若根结点为0层,叶结点到根结点的路径长度

为叶结点的层数)。树的带权路径长度记为WPL= (W1L1+W2L2+W3L3+…+WnLn)

,N个权值Wi(i=1,2,…n)构成一棵有N个叶结点的二叉树,相应的叶结点的路径

长度为Li(i=1,2,…n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

哈夫曼编码步骤:

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,…,Wi,…,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,…,Ti,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点,它的左右子树均为空。(为方便在计算机上实现算 法,一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。)

二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树,新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。

三、从F中删除这两棵树,并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。

四、重复二和三两步,直到集合F中只有一棵二叉树为止。

简易的理解就是,假如我有A,B,C,D,E五个字符,出现的频率(即权值)分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树,即取1,2构成新树,其结点为1+2=3,如图:

img

虚线为新生成的结点,第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中,所以集合变成{5,4,3,3},再根据第二步,取最小的两个权值构成新树,如图:

img

再依次建立哈夫曼树,如下图:

img

其中各个权值替换对应的字符即为下图:

img

所以各字符对应的编码为:A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

哈夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩,加密解密等场合。

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